Phương pháp quy nạp toán học và dãy số !!

Câu 1 :

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A. n = k

B. n = k + 1

C. n = k + 2

D. n = k + 3

Câu 2 :

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 1}$ . Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8.

B. 6.

C. 5.

D. 7.

Câu 3 :

Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

a) k ∈ Q

b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.

A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.

B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

D. Mọi số nguyên đều thuộc Q.

Đáp án A: sai vì Q⊂N∗ chứ không phải N∗⊂Q, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc Q hết được.

Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án C: sai vì theo giả thiết b) thì phải là số tự nhiên lớn hơn kk thuộc Q.

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4 :

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 1}$ . Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8.

B. 6.

C. 5.

D. 7.

Câu 5 :

Cho dãy số (u_n), biết u_n= (−1)ⁿ.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. u₁= −2.

B. u₂= 4.

C. u₃= −6.

D. u₄= −8.

Câu 6 :

Cho dãy số (u_n), biết , $\{\begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{matrix}$ với $n \geq 1$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?

A. −1; 2; 5.

B. 2; 5; 8

C. 4; 7; 10.

D. −1; 3; 7.

Câu 7 :

Cho dãy số (x_n) có $x_{n} = {(\frac{n - 1}{n + 1})}^{2 n + 5}, \forall n \in N *$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng:

A. $x_{n + 1} = {(\frac{n - 1}{n + 1})}^{2 n + 5}$

B. $x_{n + 1} = {(\frac{n}{n + 2})}^{2 n + 3}$

C. $x_{n + 1} = {(\frac{n}{n + 2})}^{2 n + 5}$

D. $x_{n + 1} = {(\frac{n - 1}{n + 1})}^{2 n + 1}$

Câu 8 :

Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (a_n) có $a_{n} = - n^{2} + 4 n + 11, \forall n \in N *$ .

A. 14

B. 15

C. 13

D. 12

Câu 9 :
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

A. 1;1;1;1;1;1;⋯

B. $1; - \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$

C. 1;3;5;7;9;⋯

D. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$

Câu 10 :

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{- n}{n + 1}$ . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $- \frac{1}{2}; - \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}$

B. $- \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}; - \frac{6}{7}$

C. $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}$

D. $0; - \frac{1}{2}; - \frac{2}{3}; - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}$

Câu 11 :

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_{1} = \frac{1}{2}$ và $u_{n} = u_{n - 1} + 2 n$ với mọi n ≥ 2. Khi đó u₅₀ bằng:

A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

Câu 12 :

Cho dãy số (x_n) xác định bởi x₁= 5 và $x_{n + 1} = x_{n} + n, \forall n \in N *$ . Số hạng tổng quát của dãy số (x_n) là:

A. $x_{n} = \frac{n^{2} - n + 10}{2}$

B. $x_{n} = \frac{5 n^{2} - 5 n}{2}$

C. $x_{n} = \frac{n^{2} + n + 10}{2}$

D. $x_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 12}{2}$

Câu 13 :
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. Dãy (a_n), với $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} . \sin \frac{π}{n}, \forall n \in N *$

B. Dãy (b_n), với $b_{n} = {(- 1)}^{2 n} . (5^{n} + 1), \forall n \in N *$

C. Dãy (c_n), với $c_{n} = \frac{1}{n + \sqrt{n + 1}}, \forall n \in N *$

D. Dãy (d_n), với $d_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1}, \forall n \in N *$

Câu 14 :

Cho dãy số (x_n) với $x_{n} = \frac{a n + 4}{n + 2}$ . Dãy số (x_n) là dãy số tăng khi:

A. a = 2

B. a > 2

C. a < 2

D. a > 1

Câu 15 :

Cho hai dãy số (x_n) với $x_{n} = \frac{(n + 1)!}{2^{n}}$ và (y_n) với y_n= n + sin²(n + 1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. (x_n) là dãy số giảm và (y_n) là dãy số giảm.

B. (x_n) là dãy số giảm và (y_n) là dãy số tăng.

C. (x_n) là dãy số tăng và (y_n) là dãy số giảm.

D. (x_n) là dãy số tăng và (y_n) là dãy số tăng.

Câu 16 :

Giá trị của tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + ... −2n + (2n + 1) là:

A. 1

B. 0

C. 5

D. n + 1

Câu 17 :

Với mọi số nguyên dương n, tổng S_n= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) là:

A. $n (n + 1) (n + 2) \frac{(n + 3)}{6}$

B. $n (n + 1) \frac{(n + 2)}{3}$

C. $n (n + 1) \frac{(n + 2)}{2}$

D. Đáp số khác

Câu 18 :

Kí hiệu k! = k(k − 1)...2.1, ∀k∈N∗. Với n∈N*, đặt S_n= 1.1! + 2.2! + ... + n.n!

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. S_n= 2.n!.

B. S_n= (n + 1)! − 1.

C. S_n= (n + 1)!.

D. S_n= (n + 1)! + 1.

Câu 19 :

Cho tổng $S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$ . Mệnh đề nào đúng?

A. $S_{n} = \frac{1}{n + 1}$

B. $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$

C. $S_{n} = \frac{n}{n + 2}$

D. $S_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$

Câu 20 :

Chọn mệnh đề đúng: Với mọi nϵN* thì:

A. $(13^{n} - 1) ⋮ 13$

B. $(13^{n} - 1) ⋮ 8$

C. $(13^{n} - 1) ⋮ 12$

D. $(13^{n} - 1) ⋮ 7$

Câu 21 :

Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

A. $\frac{n (3 n + 1)}{2}$

B. $\frac{n (3 n - 1)}{2}$

C. $\frac{n (3 n + 2)}{2}$

D. $\frac{3 n^{2}}{2}$

Câu 22 :

Cho dãy số (a_n) xác định bởi $a_{n} = 2017 \sin \frac{n π}{2} + 2018 \cos \frac{n π}{3}$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. $a_{n + 6} = a_{n}, \forall n \in N *$

B. $a_{n + 9} = a_{n}, \forall n \in N *$

C. $a_{n + 12} = a_{n}, \forall n \in N *$

D. $a_{n + 15} = a_{n}, \forall n \in N *$

Câu 23 :

Cho dãy số (u_n) , với $u_{n} = \frac{3 n - 1}{3 n + 7}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Dãy (u_n) bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. Dãy (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. Dãy (u_n) bị chặn dưới và bị chặn trên.

D. Dãy (u_n) không bị chặn.

Câu 24 :

Cho dãy số (x_n) xác định bởi $x_{n} = {2.3}^{n} - {5,2}^{n}, \forall n \in N *$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. $x_{n + 2} = 5 x_{n + 1} - 6 x_{n}$

B. $x_{n + 2} = 6 x_{n + 1} - 5 x_{n}$

C. $x_{n + 2} + 5 x_{n + 1} - 6 x_{n} = 0$

D. $x_{n + 2} + 6 x_{n + 1} - 5 x_{n} = 0$

Câu 25 :

Cho dãy số (a_n) xác định bởi a₁ = 1 và $a_{n + 1} = - \frac{3}{2} a_{n}^{2} + \frac{5}{2} a_{n} + 1, \forall n \in N *$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a_{2018} = a_{2}$

B. $a_{2018} = a_{1}$

C. $a_{2018} = a_{3}$

D. $a_{2018} = a_{4}$

Câu 26 :

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁= 2 và $u_{n} = 2 u_{n + 1} - 1, \forall n \in N *$ , có tính chất:

A. là dãy số tăng và bị chặn.

B. là dãy số giảm và bị chặn.

C. là dãy số giảm và không bị chặn

D. là dãy số tăng và không bị chặn.

Câu 27 :

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 1 và $u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}^{2}}, \forall n \geq 1$ . Tổng $S_{2018} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + ... + u_{2018}^{2}$ là:

A. $S_{2018} = 2015^{2}$

B. $S_{2018} = 2018^{2}$

C. $S_{2018} = 2017^{2}$

D. $S_{2018} = 2016^{2}$

Câu 28 :

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $u_{1} = \frac{1}{2}; u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 (n + 1) u_{n} + 1}, n \geq 1$ .

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} < \frac{2017}{2018}$ . Khi n có giá trị dương lớn nhất là:

A. 2017

B. 2015

C. 2016

D. 2014

Lời giải có ở chi tiết câu hỏi nhé! (click chuột vào câu hỏi).

Phương pháp quy nạp toán học và dãy số !!

Câu 1 : Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Câu 2 : Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 3 : Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho a) k ∈ Q b) n∈Q ⇒ n + 1∈ Q ∀n ≥ k.

Câu 4 : Cho dãy số (un), biết un=n+12n+1. Số 815 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Câu 5 : Cho dãy số (un), biết un = (−1)n.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 6 : Cho dãy số (un), biết ,u1=−1un+1=un+3với n≥1. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?

Câu 7 : Cho dãy số (xn) có xn=n−1n+12n+5,∀n∈N*. Mệnh đề nào dưới đây là đúng:

Câu 8 : Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (an) có an=−n2+4n+11,∀n∈N*.

Câu 9 : Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

Câu 10 : Cho dãy số (un), biết un=−nn+1. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

Câu 11 : Cho dãy số (un) xác định bởi u1=12 và un=un−1+2n với mọi n ≥ 2. Khi đó u50 bằng:

Câu 12 : Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = 5 và xn+1=xn+n,∀n∈N*. Số hạng tổng quát của dãy số (xn) là:

Câu 13 : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Câu 14 : Cho dãy số (xn) với xn=an+4n+2. Dãy số (xn) là dãy số tăng khi:

Câu 15 : Cho hai dãy số (xn) với xn=n+1!2n và (yn) với yn = n + sin2(n + 1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 16 : Giá trị của tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + ... −2n + (2n + 1) là:

Câu 17 : Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) là:

Câu 18 : Kí hiệu k! = k(k − 1)...2.1, ∀k∈N∗. Với n∈N*, đặt Sn = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 19 : Cho tổng Sn=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1. Mệnh đề nào đúng?

Câu 20 : Chọn mệnh đề đúng: Với mọi nϵN* thì:

Câu 21 : Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

Câu 22 : Cho dãy số (an) xác định bởi an=2017sinnπ2+2018cosnπ3. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Câu 23 : Cho dãy số (un) , với un=3n−13n+7. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Câu 24 : Cho dãy số (xn) xác định bởi xn=2.3n−5,2n,∀n∈N*. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Câu 25 : Cho dãy số (an) xác định bởi a1 = 1 và an+1=−32an2+52an+1,∀n∈N*. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 26 : Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un=2un+1−1,∀n∈N* , có tính chất:

Câu 27 : Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un+1=2+un2,∀n≥1. Tổng S2018=u12+u22+...+u20182 là:

Câu 28 : Cho dãy số (un) thỏa mãn u1=12;un+1=un2n+1un+1,n≥1. Sn=u1+u2+...+un<20172018. Khi n có giá trị dương lớn nhất là: