Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Trả lời:

Ta thấy dãy số (a_n) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.

Với dãy (b_n), ta có:

$b_n=5^n+\mathrm{1,}\forall n\in N*,do{\left(-1\right)}^{2n}=1$

Vì $b_{n+1}=5^{n+1}+1={5.5}^n+1>b_n\Rightarrow \left(b_n\right)$ là dãy số tăng.

Với dãy số (c_n) ta có:

$c_{n+1}=\frac{1}{n+1+\sqrt{n+2}}<\frac{1}{n+\sqrt{n+2}}=c_n$

$\Rightarrow \left(c_n\right)$là dãy số giảm.

Với dãy số (d_n) ta có:\

$d_{n+1}=\frac{n+1}{{\left(n+1\right)}^2+1}=\frac{n+1}{n^2-2n+2}$

Xét hiệu:

$d_{n+1}-d_n=\frac{n+1}{n^2+2n+2}-\frac{n}{n^2+1}$

$d_{n+1}-d_n=\frac{n^3+n^2+n+1-n^3-2n^2-2n}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}$

$d_{n+1}-d_n=\frac{-n^2-n+1}{\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2+1\right)}<\mathrm{0,}\forall n\in N*$

Vậy (d_n) là dãy giảm.

Đáp án cần chọn là: B