Cho hai dãy số (xn) với xn=(n+1) giai thừa /2^n và (yn) với yn = n + sin2(n + 1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

* Hướng dẫn giải

Trả lời:

Xét thương :

$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\frac{\left(n+2\right)!}{2^{n+1}}}{\frac{\left(n+1\right)!}{2^n}}$

$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\left(n+2\right)!}{2^{n+1}}.\frac{2^n}{\left(n+1\right)!}$

$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{n+2}{2}=\frac{n}{2}+1>\mathrm{1,}\forall n\ge 1$

$\Rightarrow x_{n+1}>x_n$

→ (x_n) là dãy tăng

Xét hiệu:

$y_{n+1}-y_n=\left(n+1\right)+{\sin }^2\left(n+2\right)-n-{\sin }^2\left(n+1\right)$

$y_{n+1}-y_n={\sin }^2\left(n+2\right)-{\sin }^2\left(n+1\right)+1$

Vì: $\left\{\begin{array}{c}{\sin }^2\left(n+2\right)\ge 0\\ -{\sin }^2\left(n+2\right)\ge -1\end{array}\right.$

$\Rightarrow {\sin }^2\left(n+2\right)-{\sin }^2\left(n+1\right)\ge -1$

$\Rightarrow {\sin }^2\left(n+2\right)-{\sin }^2\left(n+1\right)+1\ge \mathrm{0,}\forall n\ge 1$

Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để

$\left\{\begin{array}{c}{\sin }^2\left(n+2\right)=0\\ -{\sin }^2\left(n+1\right)=-1\end{array}\right.$

Vây ${\sin }^2\left(n+2\right)-{\sin }^2\left(n+1\right)+1>\mathrm{0,}\forall n\ge 1$

$\Rightarrow y_{n+1}>y_n$

Do đó (y_n) là dãy tăng.

Đáp án cần chọn là: D