Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) là:

Trả lời:

Với n = 1 ta có: S₁ = 1.2 = 2, do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh $S_n=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Giả sử (∗) đúng đến n = k(k ≥ 1), tức là:

S_k = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ k(k + 1)

$=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}$

ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

S_k+1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (k + 1)(k + 2)

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}$

Ta có:

S_k+1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (k + 1)+(k + 1)(k + 2)

$=\frac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(k^2+2k+3k+6\right)}{3}$

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: B