Cho tổng Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n(1+1). Mệnh đề nào đúng?

Trả lời:

Cách 1:

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được:

$S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n}{n+1}\left(*\right)$

Thật vậy, với n = 1 ta có $S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$

Giả sử (*) đúng đến n = k(k ≥ 1), khi đó ta có:

$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}$

 ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

$S_{k+1}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$

Ta có:

$S_{k+1}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}$

$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{k\left(k+2\right)+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{\left(k+1\right)}{\left(k+2\right)}$

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: B