Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

Trả lời:

Gọi S_n = 2 + 5 + 8 + … + (3n − 1)

Với n = 1 ta có: S₁ = 2 , ta loại được các đáp án B, C và D.

Ta chứng minh:

$S_n=2+5+8+\mathrm{...}+\left(3n-1\right)=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\left(*\right)$

đúng với mọi số nguyên dương nn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử (*) đúng đến n = k (k ≥ 1), tức là

$S_k=2+5+8+\mathrm{...}+\left(3k-1\right)=\frac{k\left(3k+1\right)}{2}$

Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + … + (3(k + 1) − 1)

$=\frac{\left(k+1\right)\left(3\left(k+1\right)+1\right)}{2}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}$

Ta có:

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + … + (3(k + 1) − 1)

= 2 + 5 + 8 + … + (3k − 1) + (3k + 2)

$=\frac{k\left(3k+1\right)}{2}+3k+2$

$=\frac{3k^2+k+6k+4}{2}$

$=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}$

Do đó (*) đúng đến n = k + 1 .

Vậy $S_n=2+5+8+\mathrm{...}+\left(3n-1\right)=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}$đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: A