Cho dãy số (an) xác định bởi a1 = 1 và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trả lời:

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

$a_1=1$

$a_2=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+1=2$

$a_4=-\frac{3}{2}.0+\frac{5}{2}.0+1=1$

$a_6=-\frac{3}{2}.4+\frac{5}{2}.2+1=0$

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán $a_{n+3}=a_n,\forall n\ge 1$

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với $n=\mathrm{1,}{a}_1=a_4=1$

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là $a_{k+3}=a_k$, ta cần chứng minh đẳng thức đúng với  n = k + 1, tức là cần chứng minh $a_{k+4}=a_{k+1}$

Ta có :

$a_{k+4}=-\frac{3}{2}{a}_{k+3}^2+\frac{5}{2}{a}_{k+3}+1$

Mà $a_{k+3}=a_k\Rightarrow a_{k+4}=a_{k+1}$, vậy $a_{n+3}=a_n,\forall n\ge 1$

Tổng quát $a_{3n+m}=a_m,\forall m,n\in N*$

Ta lại có 2018 = 3.672 + 2

Từ đó ta suy ra $a_{2018}=a_{3.672+2}=a_2$

Đáp án cần chọn là: A