Cho dãy số (un) thỏa mãn u1=1/2 Un+1= un/(2n+1)Un +1 , n>=1

Trả lời:

Dễ dàng chỉ ra được $u_n\ge \mathrm{0,}\forall n\ge 1$

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:

$\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2\left(n+1\right)u_n+1}{u_n}=\frac{1}{u_n}+2n+2$

$\Rightarrow \frac{1}{u_n}=\frac{1}{u_{n+1}}+2\left(n-1\right)+2$

$=\frac{1}{u_{n-2}}+2\left(n-1\right)+2+2\left(n-2\right)+2$

$=\frac{1}{u_1}+2\left(1+2+\mathrm{...}+n-1\right)+2\left(n-1\right)$

$=2+2\frac{n\left(n-1\right)}{2}+2n-2=n^2+n$

$\Rightarrow u_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$\Rightarrow S_n=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$\Rightarrow S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}<\frac{2017}{2018}$

⇒ 2018n < 2017n + 2017 ⇔ n < 2017

 Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 2016.

Đáp án cần chọn là: C