Đặt điện áp xoay chiều \(u=220\sqrt{2}\cos 100\pi t(V)\) vào đầu mạch điện

* Hướng dẫn giải

Cảm kháng của cuộn cảm thuần là: \({{Z}_{L}}=\omega L=100(\Omega )\)

Dung kháng của tụ điện là: 

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{Z}_{{{c}_{1}}}}=\frac{1}{\omega {{C}_{1}}}=100(\Omega ) \\ {{Z}_{{{c}_{2}}}}=\frac{1}{\omega {{C}_{2}}}=300(\Omega ) \\ \end{array} \right.\)

Vì Z_C1 < Z_C2 nên khi mắc C₁ mạch có tính cảm kháng, khi mắc C₂ mạch có tính dung kháng. Khi điện dung có giá trị C₁, hệ số công suất của mạch điện là: 

\(\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=1\)

Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện là: \({{U}_{{{C}_{1}}}}=\frac{U}{Z}\cdot {{Z}_{{{C}_{1}}}}=\frac{100U}{R}\) (1)

Khi điện dung có giá trị C₂, tổng trở của mạch là:

\(Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}\)

Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện là: \({{U}_{{{C}_{1}}}}=\frac{U}{Z}\cdot {{Z}_{{{C}_{1}}}}=\frac{100U}{R}\) (1)

Theo đề bài ta có: 

\({{U}_{{{C}_{1}}}}={{U}_{{{C}_{2}}}}\Rightarrow \frac{100U}{R}=\frac{300U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}\Rightarrow R=10\sqrt{50}(\Omega )\)

\(\Rightarrow \cos {{\varphi }_{2}}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}=\frac{10\sqrt{50}}{\sqrt{5000+{{200}^{2}}}}=\frac{10\sqrt{50}}{30\sqrt{50}}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{\cos {{\varphi }_{1}}}{\cos {{\varphi }_{2}}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\).