Tìm phần thập phân của thương trong phép chia số 111...1111 cho 36

* Hướng dẫn giải

Đặt $A =\underset{2007 chữ số 1}{\underbrace{111...1111}}$

Ta có: $\frac{A}{36}=\frac{A}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{A}{9}\times \mathrm{0,25}$

Vì 0,25 có hai chữ số ở phần thập phân nên ta sẽ tìm hai chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9.

Một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Tổng các chữ số của A là 2007 x 1 = 2007. Vì 2007 chia hết cho 9 nên $A = \underset{2007 chữ số 1}{\underbrace{111....1111}}$ chia hết cho 9.

Một số hoặc chia hết cho 9 hoặc chia cho 9 cho số dư là một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Chữ số tận cùng của A là 1 không chia hết cho 9, nhưng A chia hết cho 9 nên trong phép chia của A cho 9, thì ở bước cuối (ta gọi là bước k) : số chia cho 9 phải là 81. Vậy chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 là 9. Cũng trong phép chia của A cho 9, ở trước bước cuối (bước k - 1) : số chia cho 9 cho số dư là 8 sẽ là 71 và khi đó ở thương ta được số giáp số cuối cùng là 7.

Vậy hai chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 là 79.

Do đó số $\frac{A}{9}\times 0,25 = ......79 X 0,25 = ......,75$ là số có phần thập phân là 75.