Xét số abc sao cho: abc=ab+bc+ac+ca+cb+ba

* Hướng dẫn giải

$\stackrel{\_}{abc}$ = $\stackrel{\_}{ab}$+ $\stackrel{\_}{bc}$ + $\stackrel{-}{ac}$ + $\stackrel{-}{ca}$ + $\stackrel{-}{cb}$ + $\stackrel{\_}{ba}$

Theo cấu tạo số ta có:

$\stackrel{\_}{abc}$= (a × 10 + b) + (b × 10 + c) + (c × 10 + a) + (a × 10 + c) + (c × 10 + b) + (b × 10 + a)

$\stackrel{\_}{abc}$= = (a + b + c) × 2 × 11                         (1)

Từ (1) ta thấy $\stackrel{\_}{abc}$ là số chẵn và chia hết cho 11.

b) Khi a = 1 thì $\stackrel{\_}{abc}$  = 1$\stackrel{\_}{bc}$ , từ (1) ta có:

1$\stackrel{\_}{bc}$  = (1+ b+ c) × 22

100 + 10 × b + c = 22 + 22 × b + 22 × c

78 = 12 × b + 21 × c                                 (2)

Vì 78 là số chẵn, 12 là sổ chẵn nên 21 × c phải là số chẵn. Mặt khác, từ (2) ta thấy c phải nhỏ hơn 4. Vậy, c = 0 hoặc  c = 2.

- Nếu c = 0 thì: 78 = 12× b + 21× 0. Không xác định được b.

- Nếu c = 2 thì: 78 = 12 × b + 21 × 2 Tìm được b = 3.

Vậy, số phải tìm là 132.