CMR: Tổng 3/4 + 8/9 + 15/16 +...+ 9999/10000 không phải là số tự nhiên?

* Hướng dẫn giải

Ta có : $\frac{3}{4}$ + $\frac{8}{9}$ + $\frac{15}{16}$ +...+ $\frac{9999}{10000}$ = (1 $-\frac{1}{4}$) + (1 $-\frac{1}{9}$) + (1 $-\frac{1}{16}$) + ...+ (1 $-\frac{1}{10000}$) = 99 - ($\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{16}$ +...+ $\frac{1}{10000}$) (1)

Đặt A = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{16}$ +...+ $\frac{1}{10000}$A = $\frac{1}{2}$.2 + $\frac{1}{3}$.2 + $\frac{1}{4}$.4 +.....+ $\frac{1}{100}$.100

Mà : A = $\frac{1}{2}$.2 + $\frac{1}{3}$.2 + $\frac{1}{4}$.4 +.....+ $\frac{1}{100}$.100 < $\frac{1}{1}$.2 + $\frac{1}{2}$.3 + $\frac{1}{3}$.4 + ....+$\frac{1}{99}$.100

hay A < 1 $-\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ +....+ $\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

Vậy A < 1 $-\frac{1}{100}$ < 1 (2)

Từ (1) và (2) => 98 <$\frac{3}{4}$ + $\frac{8}{9}$ + $\frac{15}{16}$ +...+ $\frac{9999}{10000}$ < 99

Vậy tổng trên không phải STN