Có 2000 mảnh giấy. Tren mỗi mảnh được ghi môt sô tự nhiên. Chứng minh rằng

* Hướng dẫn giải

Sắp xếp các số lớn dần (hoặc nhỏ dần) và ta được a1, a2, a3, ..., a2000
Giả sử không tồn tại một dãy con nào gồm 45 số bằng nhau trong dãy trên 
Ta chia dãy trên thành các dãy
a1, a2, ..., a44
a45, a46, ..., a88
...
a1937, a1938, ..., a1980
a1981, a1982,...., a2000
Ta có 45 dãy gồm: 44 dãy có 44 số và 1 dãy cuối có 20 số
Ta thấy a1, a45, ..., a1937, a1981 là các số khác nhau (theo điều giả sử) và dãy này có 45 số.