Cho tam giác ABC và điểm O trong tam giác. Các đường thẳng AO.,BO,CO lần lượt cắt

* Hướng dẫn giải

Vì điểm O không cố định. Ta có thể lách luật như sau: Bài toán luôn đúng với mọi vị trí của O. ta giả sử với điểm O ta nối sao cho M, N, P lần lượt là TĐ của BC; CA; AB thì bài toán dễ đi rất nhiều. Song như thế e cùn quá. Ta làm sau:
a) $\frac{PA}{PB}$=$\frac{S\left(CAP\right)}{S\left(CPB\right)}$(chung đường cao hạ từ C xuống AB)
Tương tự $\frac{MB}{MC}$= $\frac{S\left(ABM\right)}{S\left(AMC\right)}$(chung đường cao hạ từ A xuống BC)
$\frac{AN}{AC}=\frac{S\left(BAN\right)}{S\left(BCN\right)}$(chung đường cao hạ từ B xuống AC)
$\frac{PA}{PB}x\frac{MB}{MC}x\frac{AN}{AC}= \frac{S\left(CAP\right)}{S\left(CPB\right)}x\frac{S\left(ABM\right)}{S\left(AMC\right)}x\frac{S\left(BAN\right)}{S\left(BCN\right)}=1$
b)$\frac{PO}{PC}=\frac{S\left(AOP\right)}{S\left(APC\right)}$
$$\begin{gathered} \frac{MO}{MA}=\frac{ S\left(CMO\right)}{S\left(CAM\right) } \\ \frac{NO}{NB}=\frac{S\left(ANO\right)}{S\left(ABN\right)} \end{gathered}$$
Cộng hai vế ta có: $\frac{PO}{PC}+\frac{MO}{MA}+\frac{NO}{NB}=\frac{S\left(AOP\right)}{S\left(APC\right)}+\frac{S\left(CMO\right)}{S\left(CAM\right)}+\frac{S\left(ANO\right)}{ S\left(ABN\right)}$