Chương 2: Phân Thức Đại Số

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a) \(\frac{5y}{7}= \frac{20xy}{28x}\);                              b) \(\frac{3x(x + 5))}{2(x + 5)}= \frac{3x}{2}\)

c) \(\frac{x + 2}{x - 1}= \frac{(x + 2)(x + 1)}{x^{2} - 1}\);             d) \(\frac{x^{2} - x - 2}{x + 1}= \frac{x^{2}- 3x + 2}{x - 1}\)

e) \(\frac{x^{3}+ 8 }{x^{2}- 2x + 4}= x + 2\);

Ba phân thức sau có bằng nhau không?

\(\frac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x},\) \(\frac{x - 3}{x};\) \(\frac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\)

Cho ba đa thức : x² – 4x, x² + 4, x² + 4x. Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:

 \(\frac{...}{x^{2}- 16}= \frac{x}{x - 4}\)

Cô giáo yêu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức đại số bằng nhau. Dưới đây là những ví dụ các bạn lan, hùng, hương, huy đã cho:

a) \(\frac{x + 3}{2x - 5} = \frac{x^{2}+ 3x}{2x^{2} - 5x}\) ( Lan);        

b) \(\frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} + x} = \frac{x + 1}{1}\) ( Hùng)

c) \(\frac{4 - x}{-3x} = \frac{x - 4}{3x}\) ( Giang);            

d)  \(\frac{(x - 9)^{3}}{2(9 - x)}= \frac{(9 - x)^{2}}{2}\) ( Huy)

Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a) \(\frac{x^{3} + x^{2}}{(x - 1)(x + 1)}= \frac{...}{x - 1}\);

b) \(\frac{5(x + y)}{2}= \frac{5x^{2} - 5y^{2}}{...}\)

Đố. Hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức để điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống:

 \(\frac{x^{5}- 1}{x^{2}- 1}= \frac{...}{x + 1}\)

Rút gọn phân thức:

a) \(\frac{6x^{2}y^{2}}{8xy^{5}}\);                  

b) \(\frac{10xy^{2}(x + y)}{15xy(x + y)^{3}}\);

c) \(\frac{2x^{2} + 2x}{x + 1}\);              

d) \(\frac{x^{2}- xy - x + y}{x^{2} + xy - x - y}\)

Trong một tờ nháp của một bạn có ghi một số phép rút gọn phân thức như sau:

a) \(\frac{3xy}{9y}= \frac{x}{3}\);                              

b) \(\frac{3xy + 3}{9y + 3}= \frac{x}{3}\);

c) \(\frac{3xy + 3}{9y + 3}= \frac{x + 1}{3 + 3} = \frac{x + 1}{6}\)           

d) \(\frac{3xy + 3x}{9y + 9}= \frac{x }{3}\)

Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:

a) \(\frac{36(x - 2)^{3}}{32 - 16x}\);                               b) \(\frac{x^{2}- xy}{5y^{2} - 5xy}\)

Đố em rút gọn được phân thức:

                         \(\frac{x^{7}+ x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2}-1}\)

Quy dồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{5}{x^{5}y^{3}}, \frac{7}{12x^{3}y^{4}}\);                  b) \(\frac{4}{15x^{3}y^{5}}, \frac{11}{12x^{4}y^{2}}\)

Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a) \(\frac{5}{2x +6}, \frac{3}{x^{2}-9}\);                  b) \(\frac{2x}{x^{2}-8x+16}, \frac{x}{3x^{2}-12x}\)

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn):

a) \(\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{3}-1},\frac{1-2x}{x^{2}+x+1},-2\),        

b) \(\frac{10}{x+2},\frac{5}{2x-4},\frac{1}{6-3x}\)

Đố. Cho hai phân thức: \(\frac{5x^{2}}{x^{3}-6x^{2}},\frac{3x^{2}+18x}{x^{2}-36}\)

Khi quy đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn MTC = x²(x – 6)(x + 6), còn bạn Lan bảo rằng: "Quá đơn giản! MTC = x - 6". Đố em biết bạn nào chọn đúng?

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{3x-5}{7}+\frac{4x+5}{7}\);                                

b) \(\frac{5xy-4y}{2x^{2}y^{3}}+\frac{3xy+4y}{2x^{2}y^{3}}\)

c) \(\frac{x+1}{x-5}+\frac{x-18}{x-5}+\frac{x+2}{x-5}\).

Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm tính cộng phân thức.

a) \(\frac{2x^{2}-x}{x-1}+\frac{x+1}{1-x}+\frac{2-x^{2}}{x-1}\);         

b) \(\frac{4-x^{2}}{x-3}+\frac{2x-2x^{2}}{3-x}+\frac{5-4x}{x-3}\).

Làm các phép tính sau.

a) \(\frac{y}{2x^{2}-xy}+\frac{4x}{y^{2}-2xy}\);                    

b) \(\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x^{2}-4}+\frac{x-14}{(x^{2}+4x+4)(x-2)}\);

c) \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+2)(4x+7)}\);                

d) \(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(4x+7)}\)

Một con mèo đuổi bắt một con chuột. Lần đầu mèo chạy với vận tốc x m/s. Chạy được 3m thì mèo bắt được chuột. Mèo vờn chuột 40 giây rồi thả cho chuột chạy. Sau đó 15 giây mèo lại đuổi bắt, nhưng với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lần đầu là 0,5m/s. Chạy được 5m mèo lại bắt được chuột. Lần này thì mèo cắn chết chuột. Cuộc săn đuổi kết thúc.

Hãy biểu diễn qua x:

- Thời gian lần thứ nhất mèo bắt được chuột

- Thời gian lần thứ 2 mèo đuổi bắt được chuột

- Thời gian kể từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn.

Làm tính trừ các phân thức sau:

a) \(\frac{4x-1}{3x^{2}y}-\frac{7x-1}{3x^{2}y}\);

b) \(\frac{4x+5}{2x-1}-\frac{5-9x}{2x-1}\);

c) \(\frac{11x}{2x-3}-\frac{x-18}{3-2x}\);                    

d) \(\frac{2x-7}{10x-4}-\frac{3x+5}{4-10x}\).

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{3}{2x+6}-\frac{x-6}{2x^{2}+6x}\);

b) \(x^{2}+1-\frac{x^{4}-3x^{2}+2}{x^{2}-1}\)

Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1:

a) \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\);

b) \(\frac{1}{xy-x^{2}}-\frac{1}{y^{2}-xy}\).

Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:

\(\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}\) \(+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}+\frac{1}{(x+5)(x+6)}\)

Làm các phép tính sau

a) \(\frac{4xy-5}{10x^3y}-\frac{6y^2-5}{10x^3y}\)

b) \(\frac{7x+6}{2x(x+7)}-\frac{3x+6}{2x^2+14x}\)

Dùng quy tắc đổi dấu rồi thực hiện các phép tính

a) \(\frac{4x+13}{5x(x-7)}-\frac{3x+6}{5x(x-7)}\)

b) \(\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}\)

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{15x}{7y^{3}}.\frac{2y^{2}}{x^{2}}\);

b) \(\frac{4y^{2}}{11x^{4}}.(-\frac{3x^{2}}{8y})\);

c) \(\frac{x^{3}-8}{5x+20}.\frac{x^{2}+4x}{x^{2}+2x+4}\)

Rút gọn biếu thức sau theo hai cách (sử dụng và không sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

 \(\frac{x-1}{x}.(x^2 + x+ 1 + \frac{x^{3}}{x-1})\)

Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của phép nhân dưới đây những phân  thức có mẫu thức bằng tử thức cộng với 1

 \(\frac{1}{x}.\frac{x}{x+1}....=\frac{1}{x+7}\)

Làm tính chia phân thức:

a) \((-\frac{20x}{3y^{2}}):(-\frac{4x^{3}}{5y})\);

b) \(\frac{4x+12}{(x+4^{2})}:\frac{3(x+3)}{x+4}\).

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{5x-10}{x^{2}+7}: (2x - 4)\)

b)  \((x^2 -25) :\frac{2x+10}{3x-7}\)

c) \(\frac{x^{2}+x}{5x^{2}-10x+5}:\frac{3x+3}{5x-5}\).

Tìm biểu thức Q, biết rằng:

 \(\frac{x^{2}+2x}{x-1}.Q=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x}\)

Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của dãy phép chia dưới đây những phân thức có tử thức bằng mẫu thức công với 1:

                \(\frac{x}{x+1}:\frac{x+2}{x+1}:\frac{x+3}{x+2}:....... = \frac{x}{x+6}\)

Em hãy ra cho bạn một câu đố tương tự, với vế phải cảu đẳng thức là \(\frac{x}{x+n}\), trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 tuỳ ý em thích:

Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

a) \(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\);

b) \(\frac{1-\frac{2}{x+1}}{1-\frac{x^{2}-2}{x^{2}-1}}\).

Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?

a) \(\frac{5x}{2x+4}\);

b) \(\frac{x-1}{x^{2}-1}\).

Cho phân thức \(\frac{x^2+4x+4}{x+2}\)

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức?

c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không?

Đố. Đố em tìm được một phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó tìm được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2.