Bài 70 trang 141 SGK Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.

b) Kẻ BH ⊥ AM (H \(\in\) AM), kẻ CK ⊥ AN (K \( \in \) AN. Chứng minh rằng BH = CK.

c) Chứng minh rằng AH = AK.

d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao ?

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạng của tam giác OBC.

Hướng dẫn giải

- Chứng minh một tam giác là tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.

- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau.

- Chứng minh tam giác là đều bằng cách chứng minh tam giác cân có một góc bằng \(60^o\).

Lời giải chi tiết

a) ∆ABC cân, suy ra  \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)   (1)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù)  (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù)   (3)

 Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét ∆ABM và ∆CAN có:

AB = AC (gt)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (cmt)

BM = CN (gt)

Vậy ∆ABM = ∆CAN (c.g.c)

Suy ra \(\widehat M = \widehat N\)

Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.

b) Xét hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :

BM = CN (gt)

\(\widehat M = \widehat N\) (CM từ câu a)

Vậy ∆BHM  = ∆CHN (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\)  ra BH = CK.

c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)

Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).

Do đó AH = AM – HM = AN – KN = AK (theo (*) và (**)) 

Vậy AH = AK.

d) ∆BHM = ∆CKN suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\)  

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (2 góc đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy ∆OBC là tam giác cân tại O.

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:

+ Tam giác cân ABC có \(\widehat {BAC} = {60^o}\) nên là tam giác đều hay AB = BC = AC

Mặt khác: BM = CN = BC (gt)

Do đó: AB = BC = AC = BM = CN

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^o}\) (cùng bù với 60⁰)

Vì AB = BM (cmt) nên ∆ABM cân ở B suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^o} - {{120}^o}} \over 2} = {30^o}\) .

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}\) .

Và \(\widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)

       \( = {180^o} - {2.30^o} = {120^o}\)

Vậy ∆AMN có \(\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.\)

+∆BHM vuông tại H có: \(\widehat M = {30^o}\) nên \(\widehat {{B_2}} = {60^o}\) (hai góc phụ nhau)

Suy ra \(\widehat {{B_3}} = {60^o}\) (2 góc đối đỉnh)

Tương tự \(\widehat {{C_3}} = {60^o}\)

Tam giác OBC có \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}} = {60^o}\) nên tam giác OBC là tam giác đều.

(Tam giác cân có một góc bằng 60⁰ nên là tam giác đều).