Giải bài 41 trang 129 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Đề bài

   Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a, OB = b (a,b cùng đơn vị: cm).

   Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng phía với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D (xem hình 116).

   a) Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi.     

   

Hướng dẫn giải

   a) Xét

    \(\Delta AOC \ và \ \Delta BOD \ có \\ \widehat{A}= \widehat{B}= 90^0 \\\)

   \( \stackrel\frown{AOC} = \stackrel\frown{BDO}\) ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

   Vậy \(\Delta AOC \approx \Delta BDO (g.g)\)

   \( \Rightarrow \dfrac{AC}{OB}= \dfrac{OA}{BD}\\ \Rightarrow AC.BD = OA.OB = a.b ( không \ đổi ) \)

   b) Xét tam giác AOC có AC = \(OA . tg 60^0 = a \sqrt{3} \)

   Xét tam giác BOD có BD = \(OB .tg 30^0 = \dfrac{b \sqrt{3}}{3}\)

   Vậy diện tích hình thang ABCD là:

   \(S = \dfrac{1}{2}( AC+ BD).AB = \dfrac{1}{2}( a+b)( a \sqrt {3}+ \dfrac{b\sqrt {3}}{3})\)

   \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{6}( 3a^2 + 4ab + b^2)(cm^2)\)

   c) Khi quay hình vẽ quanh cạnh AB thì tam giác AOC tạo nên một hình nón có chiểu cao OA= a và bán kính đáy \(AC =a\sqrt{3}\)

   Tam giác BOD tạo nên một hình nó có chiều cao OB = b và bán kính đáy \(BD = \dfrac{b\sqrt{3}}{3}\)

   Tỉ số thể tích của hai hình nón là:

   \( \dfrac{V_1 }{V_2}= \dfrac{\dfrac{1}{3}\pi ( a\sqrt{3})^2.a}{\dfrac{1}{3}\pi (\dfrac{b\sqrt{3}}{3})^2.b}= \dfrac{9a^2}{b^3}\)