Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng

\(\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x - y + 2 = 0 \cr} \)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm P(3, 1) và cắt  lần lượt ở A,B sao cho \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

Hướng dẫn giải

\({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).\)

\({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right).\)

Giả sử \(\Delta \) qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right);\,\Delta \) cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) ở A và B sao cho tạo với  một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _1}\)và góc hợp bởi \(\Delta \)  với \({\Delta _2}\) bằng nhau.

Do đó:

\(\eqalign{
& {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a - b} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \cr} \)

Chọn \(b = 1\) ta có: \({a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

\(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0;\)

\(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0.\)