Bài 39 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau

a) (H) có một tiêu điểm là (5, 0) và độ dài trục thực bằng 8;

b) (H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt 3 \) , một đường tiệm cận là \(y = {2 \over 3}x;\)

c) (H) có tâm sai \(e = \sqrt 5 \) và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6).\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(c = 5,a = 4 \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 9 \Rightarrow b = 3\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1.\) 

b) Ta có: \(c = \sqrt 3 ;{b \over a} = {2 \over 3} \Rightarrow b = {{2a} \over 3}\)

\({c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + {{4{a^2}} \over 9} = 3\)

\(\Rightarrow {a^2} = {{27} \over {13}};{b^2} = 3 - {{27} \over {13}} = {{12} \over {13}}.\)               

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over {{{27} \over {13}}}} - {{{y^2}} \over {{{12} \over {13}}}} = 1.\)

c) Ta có: \(e = {c \over a} = \sqrt 5  \Rightarrow {c^2} = 5{a^2} \Rightarrow {b^2} = 4{a^2}\,\,\,\,\,(1)\)

Giả sử: \((H):{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Vì \(M\left( {\sqrt {10} ;6} \right) \in (H)\) nên: \({{10} \over {{a^2}}} - {{36} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 10{b^2} - 36{a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) ta được: \(40{a^2} - 36{a^2} = {a^2}\left( {4{a^2}} \right) \Rightarrow {a^2} = 1;{b^2} = 4\)

Vậy (H) có phương trình là: \({{{x^2}} \over 1} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\)