Bài giảng quy tắc đếm lớp 11

Bài giảng quy tắc đếm lớp 11

Hôm nay  sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết quy tắc đếm 11!

I. Hai quy tắc đếm cơ bản

1. Quy tắc cộng

Khái niệm: Công việc đã cho có 2 phương thức lựa chọn như sau là A và B.
Tổng số phương án của công việc đó là m + n với điều kiện là m và n không được phép trùng nhau.

Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập \({{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}\) đôi một rời nhau. Khi đó:

\(\left| {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup ...\cup {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|+\left| {{A}_{2}} \right|+...+\left| {{A}_{n}} \right|\)

2. Quy tắc nhân

Giai đoạn của công việc gồm có A và B. Để thực hiện thành công của công việc thì có m cách thực hiện A và có tổng cộng n cách thực hiện công việc B.

Công thức:

Nếu các tập \({{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}\) đôi một rời nhau. Khi đó:

\(\left| {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap ...\cap {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|.\left| {{A}_{2}} \right|.....\left| {{A}_{n}} \right|\).

3. Dạng bài tập:

Khi lập một số tự nhiên \(x=\overline{{{a}_{1}}...{{a}_{n}}}\) ta cần lưu ý:

* \({{a}_{i}}\in \left\{ 0,1,2,...,9 \right\}\) và \({{a}_{1}}\ne 0\).

* x là số chẵn \(\Leftrightarrow {{a}_{n}}\) là số chẵn

* x là số lẻ \(\Leftrightarrow {{a}_{n}}\) là số lẻ

* x chia hết cho \(3\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\) chia hết cho 3

* x chia hết cho 4 \(\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}\) chia hết cho 4

* x chia hết cho \(5\Leftrightarrow {{a}_{n}}\in \left\{ 0,5 \right\}\)

* x chia hết cho 6 \(\Leftrightarrow x\) là số chẵn và chia hết cho 3

* x chia hết cho \(8\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}\) chia hết cho 8

* x chia hết cho \(9\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\) chia hết cho 9.

Giải bài tập quy tắc đếm lớp 11 có lời giải

II. Bài tập về quy tắc đếm

Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số \(\displaystyle 0,1,2,4,5,6,8\). Áp dụng quy tắc đếm

Lời giải:

Gọi \(x=\overline{abcd};\text{ }a,b,c,d\in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 \right\}\).

Cách 1: Tính trực tiếp

Vì x là số chẵn nên \(d\in \left\{ 0,2,4,6,8 \right\}\).

TH 1: \(d=0\Rightarrow \) có 1 cách chọn d.

Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn \(a\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\)

Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn \(b\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a \right\}\)

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn \(c\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a,b \right\}\)

Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4=120 số.

TH 2:
\(d\ne 0\Rightarrow d\in \left\{ 2,4,6,8 \right\}\Rightarrow \) có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn d, do \(a\ne 0\) nên ta có 5 cách chọn

\(a\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ d \right\}\).

Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn \(b\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a \right\}\)

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn \(c\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a,b \right\}\)

Suy ra trong trường hợp này có  4.5.5.4=400 số.

Vậy có tất cả 120+400=520 số cần lập.

Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)

Gọi A = { số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8}

B = { số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8}

C = { số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8}

Ta có: \(\left| C \right|=\left| A \right|-\left| B \right|\).

Dễ dàng tính được: \(\left| A \right|=6.6.5.4=720\).

Ta đi tính \(\left| B \right|\)?
\(x=\overline{abcd}\) là số lẻ \(\Rightarrow d\in \left\{ 1,5 \right\}\Rightarrow d\) có 2 cách chọn.

Với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a(vì \(a\ne 0,a\ne d\))
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c

Suy ra \(\left| B \right|=2.5.5.4=200\)

Vậy \(\left| C \right|=520\).

Bài 2: Áp dụng quy tắc đếm. Cho tập \(A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}\)

a) Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

    A.720                     B.261                      C.235                      D.679

b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.

    A.660                     B.432                      C.679                      D.523

Lời giải:

1. Gọi số cần lập \(x=\overline{abcd}\), \(a,b,c,d\in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\};a\ne 0\)

Chọn a : có 6 cách; chọn b, c, d có 6.5.4

Vậy có 720 số.

2. Gọi \(x=\overline{abcde}\) là số cần lập, \(e\in \left\{ 0,5 \right\},a\ne 0\)

\(e=0\Rightarrow e\) có 1 cách chọn, cách chọn a,b,c,d:6.5.4.3

Trường hợp này có 360 số

\(e=5\Rightarrow e\) có một cách chọn, số cách chọn a,b,c,d:5.5.4.3=300

Trường hợp này có 300 số

Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 3: Áp dụng quy tắc đếm tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?

    A. 3999960             B. 33778933             C. 4859473             D. 3847294

Lời giải:

Chọn A. 

Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.

Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : \(\displaystyle 24\left( {{10}^{4}}+{{10}^{3}}+{{10}^{2}}+10+1 \right)=24.11111\)
Vậy tổng các số có 5 chữ số là : \(\displaystyle 24.11111\left( 1+2+3+4+5 \right)=3999960\).

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà muốn chia sẻ về nội dung bài giảng và cách giải bài quy tắc đếm trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!