Bài 4 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho tổng \({S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n(n + 1)}}\) với \(n\in {\mathbb N}^*\).

a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3}\)

b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.

Hướng dẫn giải

a) Tính các giá trị \(S_1;S_2;S_3\) bằng cách thay lần lượt \(n=1;n=2;n=3\).

b) Dựa vào các giá trị \(S_1;S_2;S_3\) tính được ở trên, dự đoán tổng \(S_n\).

Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr
& {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr
& {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr} \)

b) Từ câu a) ta dự đoán \({S_n} = {n \over {n + 1}}(1)\), với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi \(n = 1\), vế trái là \({S_1} = {1 \over 2}\) vế phải bằng \({1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2}\). Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n\ge 1\), tức là 

                \({S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k(k + 1)}} = {k \over {k + 1}}\)

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

                  \({S_{k + 1}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\)

Ta có :

\({S_{k + 1}} = {S_k} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}} = {k \over {k + 1}} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}}\)

          \(= {{{k^2} + 2k + 1} \over {(k + 1)(k + 2)}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\)

tức là đẳng thức (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.