Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = {{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 3}\)

Hướng dẫn giải

+) Với \(n = 1\) ta có \({2^2} = {{2.2.3} \over 3}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :  

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :

\(\eqalign{
& {2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr
& = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr
& = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2}+k+ 6k + 6} \right)} \over 3} \cr
& = {{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]} \over 3} \cr
& = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)

Copyright © 2021 HOCTAP247