Bài 4 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);

b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) 

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)

Dấu của \(g\left( x \right)\)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right)} \over {g\left( x \right)}}\)

 \(L\)

 \( \pm \infty \)

Tùy ý

0

 \(L > 0\)

0

+

 \( + \infty \)

-

 \( - \infty \)

 \(L < 0\)

+

-

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) 

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)

Dấu của \(g\left( x \right)\)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right)} \over {g\left( x \right)}}\)

 \(L\)

 \( \pm \infty \)

Tùy ý

0

 \(L > 0\)

0

+

 \( + \infty \)

-

 \( - \infty \)

 \(L < 0\)

+

-

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (x - 2)^2= 0\) và \((x - 2)^2> 0\) với \(∀x ≠ 2\) và \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (3x - 5) = 3.2 - 5 = 1 > 0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}} = +∞\).

b) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (x - 1)=0\) và \(x - 1 < 0\) với \(∀x < 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 <0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{2x -7}{x-1} = +∞\).

c) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (x - 1) = 0\) và \(x - 1 > 0\) với \(∀x > 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 < 0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}= -∞\).