Câu hỏi 1 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Xét hàm số:

\(f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\)

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số x_n, x_n → 1 như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

f(x₁), f(x₂),…, f(x_n), …

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là f(x_n).

a) Chứng minh rằng f(x_n) = 2x_n = (2n + 2)/n.

b) Tìm giới hạn của dãy số f(x_n).

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì x_n, x_n ≠ 1 và x_n → 1, ta luôn có f(x_n) → 2.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số \(f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& f({x_n}) = {{2{x_n}^2 - 2{x_n}} \over {{x_n} - 1}} = {{2{x_n}({x_n} - 1)} \over {{x_n} - 1}} = 2{x_n} \cr
& {x_n} = {n \over {n + 1}} \Rightarrow f({x_n}) = 2{x_n} = 2.{n \over {n + 1}} = {{2n} \over {n + 1}} \cr
& b) \cr
& \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({{2n} \over {n + 1}} - 2) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({{ - 2} \over {n + 1}}) \cr
& Ta\,co: \cr
& {u_n} = |{{ - 2} \over {n + 1}}| = {2 \over {n + 1}} < {2 \over n} < 0,2\,\,hay\,|{u_n}| = {2 \over {n + 1}} < {2 \over n} < {2 \over {10}}\,\,(n > 10) \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({{ - 2} \over {n + 1}}) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f({x_n}) = 2 \cr
& 2. \cr
& limf({x_n}) = lim\,2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2 \cr} \)