Giới hạn của hàm số lớp 11

Bài viết này gửi bạn bài giảng giới hạn của hàm số lớp 11 chuẩn nhất, các bài tập giới hạn hàm số có lời giải và cách tìm giới hạn của hàm số bằng máy tính.

A. KIẾN THỨC CHUNG

I) Giới hạn hữu hạn

1) Các giới hạn đặc biệt

• \(\lim_{x\rightarrow x_0}x=x_0\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_0}c=c\), \(c\) là hằng số

2) Định lý

- Nếu \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L\) và \(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=M\) thì:

• \(\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=L+M\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)-g(x)]=L-M\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x).g(x)]=L.M\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_0}[\dfrac{f(x)}{g(x)}]=\dfrac{L}{M}\), \((M\neq 0)\)

- Nếu \(f(x)\geq 0\) và \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=L\Rightarrow L\geq 0\) và \(\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}\)

- Nếu \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=L\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\left | f(x) \right |=\left | L \right |\)

II) Giới hạn vô cực

1) Các giới hạn đặc biệt

• \(\lim_{x\rightarrow +\infty }x^k=+\infty \)
• \(\lim_{x\rightarrow -\infty }x^k=\left\{\begin{matrix}+\infty \ nếu \ k \ chẵn& \\ -\infty \ nếu \ k \ lẻ & \end{matrix}\right.\)
• \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty } c = c\)
• \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \dfrac {c}{x^k}=-\infty \)
• \(\lim_{x\rightarrow 0^+} \dfrac {1}{x}=+\infty \)
• \(\lim_{x\rightarrow0^- }\dfrac {1}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow0^+ }\dfrac {1}{\left | x \right |}=+\infty \)

2) Định lý

- Nếu \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L\neq 0 \ và \ \lim_{x\rightarrow x_0}g(x)= \pm \infty \) thì ta có bảng sau:

\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\)	\(lim_{x\rightarrow x_0}g(x)\)	\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).g(x)\)
+	\(+\infty \)	\(+\infty \)
+	\(-\infty \)	\(-\infty \)
-	\(+\infty \)	\(-\infty \)
-	\(-\infty \)	\(+\infty \)

- Nếu \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L\neq 0 \ và \ \lim_{x\rightarrow x_0}g(x)= 0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f(x)}{g(x)}= \pm\infty \), ta có bảng sau:

\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\)	\(lim_{x\rightarrow x_0}g(x)\)	Dấu của \(g(x)\) (Trong lân cận \(x_0\))	\(\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f(x)}{g(x)}\)
+	0	+	\(+\infty \)
+	0	-	\(-\infty \)
-	0	+	\(-\infty \)
-	0	-	\(+\infty \)

III) Giới hạn một bên

\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=L\)

* Lưu ý:

• Khi tính giới hạn có một trông các dạng vô định \(\dfrac {0}{0}\); \(\dfrac {\infty }{\infty }\); \(\infty \); \(-\infty \); \(0.\infty \) thì cần phải tìm cách khử dạng vô định đó.
• Đối với các hàm lượng giác thì vận dụng tương tự với giới hạn khi \(x\) tiến tới vô cùng của \(\dfrac {sinx}{x}=1\)

IV)  Mở rộng Tìm giới hạn của hàm số bằng máy tính

B. Bài tập

I. Các dạng bài tập

1. Dạng 1: \(\dfrac {P(x_0)}{Q(x_0)}=\dfrac {L}{M}; M, L\neq 0\)

=> Phương pháp giải: Thay \(x_0\) vào \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}: \lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac {P(x)}{Q(x)}=\dfrac {L}{M}\)

Ví dụ: Tìm \(\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac {x^3-8}{x^2-4}\)?

=> Giải: \(\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac {x^3-8}{x^2-4}=\dfrac {1^3-8}{1^3-4}=\dfrac {-7}{-3}=\dfrac {7}{3}\)

2. Dạng 2: \(\dfrac {P(x_0)}{Q(x_0)}=\dfrac {0}{M}; M\neq 0\)

=> Phương pháp giải: Thay \(x_0\) vào \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}: \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {P(x)}{Q(x)}=\dfrac {0}{M}=0\)

Ví dụ: Tìm \(\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac {x^3-8}{x^2+4}\)?

=> Giải: \(\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^3-8}{x^2+4}=\dfrac{2^3-8}{2^2+4}=\dfrac {0}{8}=0\)

3. Dạng 3: \(\dfrac {P(x_0)}{Q(x_0)}=\dfrac {L}{0}; L\neq 0\)

=> Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc 1 và 2 (Quy tắc giới hạn vô cực)

Ví dụ: Tìm  \(lim_{x\rightarrow 2^+}\dfrac {x-8}{x-2}=-\infty \)?

=> Giải:

Do \(\left\{\begin{matrix}lim_{x\rightarrow 2^+}(x-8)=-6 & & \\ lim _{x\rightarrow 2^+}(x-2)=0& & \\ x-2>0, \forall x>2& & \end{matrix}\right.\)

4. Dạng 4: \(\dfrac {P(x_0)}{Q(x_0)}=\dfrac {0}{0}\)

=> Phương pháp giải:

• Bước 1: Nhóm các nhân tử chung: \(x-x_0\)
• Bước 2: Nhân thêm liên hợp
• Bước 3: Thêm, bớt số hạng vắng

- Trường hợp 1: \(L=lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac {P(x)}{Q(x)} \) với \(P(x), Q(x) \ là \ đa \ thức \ và \ P(x_0)=Q(x_0)=0\)

Ví dụ: \(lim_{x\rightarrow 2}\dfrac {x^3-8}{x^2-4}=lim_{x\rightarrow 2}\dfrac {(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=lim_{x\rightarrow 2}\dfrac {x^2+2x+4}{x+2}=\dfrac {12}{4}=3\)

- Trường hợp 2: \(L=lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac {P(x)}{Q(x)} \) với \(P(x_0)=Q(x_0)=0\) và \(P(x), Q(x)\) là các biểu thức chứa căn cùng bậc.

Ví dụ: \(lim_{x\rightarrow 0}{2-\sqrt{4-x}}{x}=lim_{x\rightarrow 0} \dfrac {(2-\sqrt{4-x})(2+\sqrt{4-x})}{x(2+\sqrt{4-x})}=lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{2+\sqrt{4-x}}=\dfrac {1}{4}\)

- Trường hợp 3:  \(L=lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac {P(x)}{Q(x)} \) với \(P(x_0)=Q(x_0)=0\) và \(P(x)\) là các biểu thức chứa căn không đồng bậc

Ví dụ: \(lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{1-x}}{x}=lim_{x\rightarrow 0}(\dfrac {\sqrt[3]{x+1}-1}{x}+\dfrac {1-\sqrt{1-x}}{x})=lim_{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{\sqrt[3]{(x+1)^2\sqrt[3]{x+1}+1}}+\dfrac {1}{1+\sqrt{1-x}})=\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{2}=\dfrac {5}{6}\)

 

II. Bài tập giới hạn của hàm số có lời giải

Câu 1: Tìm giới hạn của hàm số lượng giác \(lim_{x\rightarrow +\infty }sinx =?\)

=> Hướng dẫn giải:

• Xét dãy số \((u_n)\) với \(u_n=\dfrac {\pi}{2}+2n\pi\)

Ta có \(u_n\rightarrow +\infty \) và \(limsin \ u_n = limsin(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi)=1 \ (1)\)

• Xét dãy số \((v_n)\) với \(v_n=-\dfrac {\pi}{2}+2n\pi\)

Ta có \(v_n\rightarrow +\infty \) và \(limsin \ v_n = limsin(-\dfrac{\pi}{2}+2n\pi)=-1 \ (2)\)

• Kết luận: Từ (1) (2) suy ra \(lim_{x\rightarrow +\infty }sinx \)  không tồn tại

Câu 2: Tìm giới hạn của hàm số chứa căn \(lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}\)

=> Hướng dẫn giải

Ta có: \(\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{x^2(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac {5}{x^2})}=\left | x \right |\sqrt{1-\dfrac {2}{x}+\dfrac {5}{x^2}}\)

Vì: \(\left\{\begin{matrix}\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty & \\ \lim_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1-\dfrac {2}{x}+\dfrac {5}{x^2}}=1>0 & \end{matrix}\right.\)

Suy ra: \(lim_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{x^2-2x+5}=+\infty \)

Câu 3: Tìm giới hạn của hàm số chứa căn \(lim_{x\rightarrow -\infty }=\sqrt{x^2-x}-\sqrt{4x^2+1}\)

=> Hướng dẫn giải:

• Ta có:  \(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{4x^2+1}=\left | x \right |(\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{4+\dfrac {1}{x^2}})\)
• Vì: \(\left\{\begin{matrix}lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty & \\ lim_{x\rightarrow -\infty }(\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{4+\dfrac {1}{x^2}})=1-2=-1<0 & \end{matrix}\right.\)
• Suy ra: \(lim_{x\rightarrow -\infty }=\sqrt{x^2-x}-\sqrt{4x^2+1}=-\infty \)

Câu 4: Tìm giới hạn của hàm số mũ \(lim_{x\rightarrow -\infty }(-2x^3+5x)=?\)

=> Hướng dẫn giải:

• Ta có: \(-2x^3+5x = x^3(-2+\dfrac {5}{x^2})\)
• Vì: \(\left\{\begin{matrix}lim_{x\rightarrow -\infty }x^3= -\infty& \\ lim_{x\rightarrow -\infty }(-2+\dfrac {5}{x^2})=-2<0 & \end{matrix}\right.\) nên \(lim_{x\rightarrow -\infty }(-2+\dfrac {5}{x^2})=+\infty \)
• Vậy theo Quy tắc 1, \(lim_{x\rightarrow -\infty }(-2x^3+5x)=+\infty \)

Xem thêm >>> Bài tập giới hạn của hàm số lớp 11

Trên đây là tất cả những kiến thức lý thuyết cùng các dạng bài tập, bài tập giới hạn của hàm số có lời giải mà muốn gửi đến bạn học. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích được nhiều cho quá trình học tập của bạn <3