Bài 10 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + 1}}\)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(\lim u_n= 0\)

B. \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = {1 \over 2}\)

C. \(\lim u_n= 1\)

D. Dãy \((u_n)\) không có giới hạn khi \(n \rightarrow -∞\)

Hướng dẫn giải

\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

Lời giải chi tiết

Vì \(1 + 2 + 3 + .... + n = {{n(n + 1)} \over 2}\)

Nên: \({u_n} = {{n(n + 1)} \over {2({n^2} + 1)}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{n(n + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} = \lim {{{n^2}(1 + {1 \over n})} \over {{n^2}(2 + {2 \over {{n^2}}})}} \cr
& = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {2 + {2 \over {{n^2}}}}} = {1 \over 2}  \cr } \)

Chọn đáp án B.