Bài 5 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tính các giới hạn sau

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}}\)                                                      

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)                                                              

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - {x^3} + {x^2} - 2x + 1)\)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + 3} \over {3x - 1}}\)                                                              

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  - x} \over {3x - 1}}\)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số xác định tại 2 nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)

b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

c) Đánh giá giới hạn dạng \(\frac{L}{0}\)

d) Đặt \(x^3\).

e) Chia cả tử và mẫu cho \(x\).

f) Chia cả tử và mẫu cho \(x\).

Lời giải chi tiết

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}} = {{2 + 3} \over {{2^2} + 2 + 4}} = {1 \over 2}\)

\(\eqalign{& b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{(x + 2)(x + 3)} \over {x(x + 3)}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{x + 2} \over x} \cr & = {{ - 3 + 2} \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (2x - 5) = 3 > 0\); \(\left\{ \matrix{x - 4 < 0,\forall x < 4 \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} (x - 4) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}} =  - \infty \)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - {x^3} + {x^2} - 2x + 1) \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}( - 1 + {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}) =  - \infty \)

\(\eqalign{& e) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + 3} \over {3x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x(1 + {3 \over x})} \over {x(3 - {1 \over x})}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {3 - {1 \over x}}} = {1 \over 3} \cr} \) 

\(\eqalign{
& f) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} - x} \over {3x - 1}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{|x|\sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - x} \over {3x - 1}} \cr
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - x} \over {x(3 - {1 \over x})}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - 1} \over {3 - {1 \over x}}} = {{ - 2} \over 3} \cr} \).