Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Hướng dẫn giải

a. 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}x\\
f"\left( x \right) = 2\tan x .\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=2{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} + 4{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)
\end{array}\)

b. \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)  (1)

Với n = 1 ta có: 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \sin 2x\\
f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)

Với n = k + 1 ta có : 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.