Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}}\)
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 - \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)
b)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 - \frac{1}{x})}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}. \end{array}\)
a) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m - 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)
Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2.
b) Chứng minh rằng phương trình \((5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng (0;1) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)
a) \(f(2)=2m-1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)
Để f(x) liên tục tại x=2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy m=3 là giá trị cần tìm.
b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1\)
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].
Ta có: \(f(0) = - 1 < 0;\)\(f(1) = 5{m^4} - 6{m^2} + 2\)
Mà: \(5{m^4} - 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).
Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} .\)
b) Cho hàm số \(y = {x^3} - 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.
a) \(y' = {\left( {x.\cos x} \right)^'} = {(x)^'}.\cos x + x.{(\cos x)^'}= \cos x - x.\sin x.\)
\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 3x} } \right)' = \frac{{({x^2} - 3x)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\)\(= \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\).
b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).
Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: \(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}.\)
Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:
\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = - 2 \end{array} \right.\)
+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x - 13.\)
+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y'\,'\,\, + \,\,4y = 0\).
\(y' = {(\sin 2x)^'} = \cos 2x.(2x)'=2. \cos 2x.\)
\(y'' = (2.\cos 2x)' = 2.( - \sin 2x).(2x)' = - 4\sin 2x.\)
Suy ra: \(y'' + 4y = - 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) (Điều phải chứng minh).
Bài viết trên đây đã thống kê và định hình lại chương trình Đại số và Giải tích 11. Để cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải bài tập, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 với những câu hỏi củng cố bám sát chương trình. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Copyright © 2021 HOCTAP247