Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.\)
Nếu kí hiệu \(\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) thì:
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó.
Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C):
\(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)
Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)
Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)
Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)
b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)
\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = - 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)
Vậy: \(f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x - 1} \right) = - 1.\)
b) \(f(x)=sinx\)
\(\Delta x = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)
\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }}. \end{array}\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2}\,khi\,\,x \ge 0\\ {(x + 1)^2}\,khi\,\,x < 0 \end{array} \right..\) Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tại x=0.
Chứng minh hàm số liên tục tại x=0:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(x - 1)^2} = 1 = f(0)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(x + 1)^2} = 1 = f(0) \end{array}\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0)\) nên hàm số liên tục tại x=0.
Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0:
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{{{\left( {\Delta x - 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x - 2} \right) = - 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{{{\left( {\Delta x + 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \left( {\Delta x + 2} \right) = 2\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\)
Nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:
i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)
ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - 4x + 4) = 9. \end{array}\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.\)
b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 2(x + \Delta x) + 3} \right] - \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x - 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x - 2} \right) = 2x - 2.\)
i) Đường thẳng \(4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k'=2.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.
Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x - 2) + 3 \Rightarrow y = 2x - 1.\)
ii) Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k'=-\frac{1}{4}.\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k' = - 1 \Rightarrow k = 4.\)
Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x - 3) + 6 \Rightarrow y = 4x - 6.\)
Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất của bài học Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 4 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 9 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 14 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 15 trang 195 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.
Copyright © 2021 HOCTAP247