Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\)    ;        b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

c) \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

Hướng dẫn giải

a) \(\int\limits_{}^{} {{{\left( {ax + b} \right)}^n}}  = \frac{1}{a}\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

b) +) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.

     +) Chia tử số cho mẫu số.

c) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} = \left. {\frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}}} \right|_0^1\\= \left. {\frac{2}{{15}}.{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{5}{2}}}} \right|_0^1 = \frac{2}{{15}}\left( {{4^{\frac{5}{2}}} - 1} \right) = \frac{2}{{15}}.31 = \frac{{62}}{{15}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \frac{1}{8} + \ln \frac{3}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}}dx} = \left. { - \frac{1}{x}\ln \left( {1 + x} \right)} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\left( {1 + x} \right)}}} \\= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{1 + x}}} \right)dx} \\= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \left. {\ln \left| {\frac{x}{{1 + x}}} \right|} \right|_1^2\\= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2}\\= \ln \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \ln 2 + \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\end{array}\)