Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).

a) Tính thể tích khối tứ diện \(A'BB'C\).

b) Mặt phẳng đi qua \(A'B'\) và trọng tâm tam giác \(ABC\), cắt \(AC\) và \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Tính thể tích hình chóp \(C.A'B'FE\).

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\). Chứng minh \(A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)\). Áp dụng công thức \({V_{A'BB'C}} = \frac{1}{3}A'M.{S_{BB'C}}\).

b) Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: \(V = {V_{B'.CEF}} + {V_{B'.A'EC}} = {V_1} + {V_2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta tính thể tích hình chóp \(A'.BCB'\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\), ta có: \(A'M \bot B'C'\)                (1)

Lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên:

\(BB' \bot (A'B'C') \Rightarrow BB' \bot A'M\)                                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A'M \bot (BB'C')\) hay \(A'M\) là đường cao của hình chóp \(A'.BCB'\).

Ta có: \(A'M\) = \({{a\sqrt 3 } \over 2};{S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}\)

\( \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}} \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

b) 

Thể tích hình chóp \(C.A'B'EF\) bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- \(V_1\) là thể tích hình chóp đỉnh \(B'\), đáy là tam giác \(CEF\).

- \(V_2\) là thể tích hình chóp đỉnh \(B'\), đáy là tam giác \(A'EC\).

Do \((ABC) // (A'B'C')\) nên dễ thấy \(EF // AB\). Ta cũng có: \(EF\) = \({2 \over 3}a\)

Hình chóp \(B'.CEF\) có chiều cao \(BB' = a\) và diện tích đáy là: \({S_{C{\rm{EF}}}}=\frac{1}{2}EF.CG = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}\)

Từ đây ta có: \({V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}\)

Do \(EC = {2 \over 3}AC\) nên \({S_{A'BE}} = \frac{1}{2}A'A.EC = \frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^2}}}{3}\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(A'C'\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'I \bot A'C\\B'I \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'I \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow B'I \bot \left( {A'EC} \right)\)

Hình chóp \(B'.A'EC\) có chiều cao là \(B'I\) bằng \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nên \({V_2} = \frac{1}{3}.B'I.{S_{A'EC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Vậy thể tích hình chóp \(C.A'B'FE\) là: \(V = V_1 + V_2\) = \({{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\)