Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.

Hướng dẫn giải

+) Gọi \(H\) là trọng tâm của \(\Delta{ABC}\), chứng minh \(OH \bot (ABC)\).

+) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(OH\).

Lời giải chi tiết

Kẻ \(AD\bot BC, OH \bot AD\) ta chứng minh \(OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OA\\
BC \bot AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BH\\
AC \bot OB
\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right) \Rightarrow AC \bot OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)
\end{array}\)

Vậy \(OH\) chính là đường cao của hình chóp.

\(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:

\(OD.BC = OB.OC\) nên \(OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\) . Từ đó suy ra

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có: \(AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) = \(\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: \(OH.AD = OA.OD\) nên

\(OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}  = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\).

Chú ý: Ta thấy khi chóp tứ giác là chóp vuông (OA, OB, OC đôi một vuông góc) thì: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\). Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.