Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\), cắt \(SB\) tại \(E\) và cắt \(SD\) tại \(F\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEMF\).

Hướng dẫn giải

Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua AM và song song với BD là tức giác AEMF.

Chứng minh AEMF có hai đường chéo vuông góc \( \Rightarrow {S_{AEMF}} = \frac{1}{2}AM.EF\)

Chứng minh \(SM \bot \left( {AEMF} \right) \Rightarrow {V_{S.AEMF}} = \frac{1}{3}SM.{S_{AEMF}}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(H = AC \cap BD\).

Hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên chân \(H\) của đường cao \(SH\) chính là tâm của đáy.

Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\) cắt mặt phẳng \((SDB)\) theo một giao tuyến song song với \(BD\)\. Ta dựng giao tuyến \(EF\) như sau: Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SH\). Qua \(I\) ta dựng một đường thẳng song song với \(BD\), đường này cắt \(SB\) ở \(E\) và cắt \(SD\) ở \(F\).

Ta có: \(HA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên \((ABCD)\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AH} \right)} = \widehat {SAH} = {60^0}\)

Tam giác cân \(SAC\) có \(SA = SC\) và góc \(SAC = 60^0\) nên nó là tam giác đều: \(I\) là giao điểm của các trung tuyến \(AM\) và \(AH\) nên I là trọng tâm của tam giác đều SAC \( \Rightarrow {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)

Do \(EF // DB \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)

Vì \(DB = a\sqrt2\) \( \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}\)

Tam giác \(SAC\) là tam giác đều nên \(AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)

Ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM \Rightarrow AM \bot EF\)

Tứ giác \(AEMF\) có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: \({S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)

Mặt khác, tam giác \(ASC\) là tam giác đều, \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AM \bot SC\). Ta cũng có \(DB \bot (SAM)\) \( \Rightarrow  DB \bot SC\) vì \(DB // EF\) nên \(EF \bot SC\). Từ kết quả trên, suy ra \(SM \bot(AEMF)\).

Dễ thấy \(SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) (do tam giác \(SAC\) đều). Do đó: \({V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}\).