Bài 72 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 72. Giải các hệ phương trình

\(a)\,\left\{ \matrix{
x + y = 20 \hfill \cr
{\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9; \hfill \cr} \right.\) 

\(b)\,\left\{ \matrix{
x + y = 1 \hfill \cr
{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2y}} = 0,5 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(x > 0; y > 0\).

\(\eqalign{
& \,\left\{ \matrix{
x + y = 20 \hfill \cr
{\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = 20 \hfill \cr
{\log _4}xy = {\log _4}36 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = 20 \hfill \cr
xy = 36 \hfill \cr} \right. \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 18 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\,\left\{ \matrix{
x = 18 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {\left( {2;18} \right);\,\left( {18;2} \right)} \right\}\)
b) Từ phương trình thứ nhất suy ra \(y = 1 – x\), thay vào phương trình thứ hai ta được:
\({4^{ - 2x}} + {4^{ - 2\left( {1 - x} \right)}} = 0,5 \Leftrightarrow \,\,{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2 + 2x}} = {1 \over 2}\)
Đặt \(t = {4^{2x\,}}\,\left( {t > 0} \right)\) ta được:

\(\eqalign{
& {1 \over t} + {t \over {16}} = {1 \over 2} \Leftrightarrow 16 + {t^2} = 8t \Leftrightarrow {\left( {t - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 4 \cr
& \Leftrightarrow {4^{2x}} = 4 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr} \)

Với \(x = {1 \over 2}\) ta có \(y = 1 - x = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)
Vậy \(S = \left\{ {\left( {{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)} \right\}\)