Bài 73 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 73. Giải hệ phương trình:

\(a)\,\,\left\{ \matrix{
{3^{ - x}}{.2^y} = 1152 \hfill \cr
{\log _{\sqrt 5 }}\left( {x + y} \right) = 2; \hfill \cr} \right.\)

\(b)\,\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 2 \hfill \cr
{\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(x + y > 0\).
Từ phương trình thứ hai suy ra: \(x + y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5 \Rightarrow y = 5 - x\) thay vào phương trình thứ nhất ta được:
\({3^{ - x}}{.2^{\left( {5 - x} \right)}} = 1152 \Leftrightarrow {6^{ - x}}.32 = 1152 \Leftrightarrow {6^{ - x}} = 36 \Leftrightarrow x =  - 2\)
Với \(x = -2\) ta có \(y = 5 – (-2) =7\).
Vậy \(S = \left\{ {\left( { - 2;7} \right)} \right\}\)
b) Điều kiện

\(\left\{ \matrix{
x + y > 0 \hfill \cr
x - y > 0 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 2 \hfill \cr
{\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Đặt u = \({\log _2}\left( {x + y} \right)\) và v = \({\log _2}\left( {x - y} \right)\)
Ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr
u - v.{\log _3}2 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = 1 \hfill \cr
v = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x + y} \right) = 1 \hfill \cr
{\log _2}\left( {x - y} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = 2 \hfill \cr
x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} \hfill \cr
y = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {\left( {{3 \over 2};{1 \over 2}} \right)} \right\}\)