Bài 79 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 79. Giải hệ phương trình :

\(a)\,\left\{ \matrix{
{3.2^x} + {2.3^y} = 2,75 \hfill \cr
{2^x} - {3^y} = - 0,75\,; \hfill \cr} \right.\)

\(b)\,\,\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5  \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.\)                                                   

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(u = {2^x},\,v = {3^y}\,\left( {u > 0,\,v > 0} \right)\)

Ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
3u + 2v = 2,75 \hfill \cr
u - v = - 0,75 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = {1 \over 4} \hfill \cr
v = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{2^x} = {1 \over 4} \hfill \cr
{3^y} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)                               

Vậy \(S = \left\{ {\left( { - 2;0} \right)} \right\}\)

b) Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\). Khi đó \({\log _5}y = {\log _5}7.{\log _7}y\) và \({\log _2}5.{\log _5}x = {\log _2}x\) nên ta có thể biến đổi tương đương hệ đã cho thành:

\(\eqalign{
& \,\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _5}xy = {\log _5}10 \hfill \cr
{\log _2}8y = {\log _2}5{x^3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
xy = 10\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
8y = 5{x^3}\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)                   

Thay \(y = {{5{x^3}} \over 8}\) vào (1) ta được: \({{5{x^4}} \over 8} = 10 \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2\) (vì \(x > 0\))

Với \(x = 2\) ta có \(y = {{10} \over x} = 5\).

Vậy \(S = \left\{ {\left( {2;5} \right)} \right\}\)