Bài 34 Trang 179 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị các hàm số \(y = x, y = 1\) và \(y = {{{x^2}} \over 4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1.\)

b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\)

c) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2},y = 4x - 4\) và \(y = -4x – 4\).

Hướng dẫn giải

a)

Diện tích hình thang \(OABC\) là:
\({S_1} = (2 + 1){1 \over 2} = {3 \over 2}\)
Diện tích tam giác cong \(OBC\) là hình phẳng giới hạn bởi: \(y = 0,x = 2,y = {{{x^2}} \over 4}\) là:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {{{{x^2}} \over 4}} dx = \left. {{{{x^3}} \over {12}}} \right|_0^2 = {2 \over 3}\)

Diện tích cần tìm là \(S = {S_1} - {S_2} = {3 \over 2} - {2 \over 3} = {5 \over 6}\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^4} - 4{x^2} + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 4 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|} dx \cr
& = \int\limits_0^1 {({x^4} - 5{x^2}} + 4)dx = \left. {\left( {{{{x^5}} \over 5} - {{5{x^3}} \over 3} + 4x} \right)} \right|_0^1 = {{38} \over {15}} \cr} \)

c)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = 4x – 4\) là:

\(\eqalign{
& {x^2} = 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2. \cr} \)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng
\(y = -4x – 4\) là:

\(\eqalign{
& {x^2} = - 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2. \cr} \)

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 2}^0 {({x^2} + 4x + 4)} dx + \int\limits_0^2 {({x^2} - 4x + 4)} dx \cr
& = \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2 = {8 \over 3} + {8 \over 3} = {{16} \over 3} \cr} \)


Copyright © 2021 HOCTAP247