Bài 35 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\).
b) Các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\), và \(x = 8\).
c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} + 1 = 3 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Diện tích cần tìm là:

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + 1 - (3 - x)} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx \cr
& = \int\limits_{ - 2}^1 {( - {x^2} - x + 2)dx = \left. {\left( { - {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + 2x} \right)} \right|} _{ - 2}^1 = {9 \over 2} \cr} \)

b)Diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_1^8 {({x^{{1 \over 3}}} - 1)dx = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - x} \right)} \right|_1^8}  = {{17} \over 4}\)

c) Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

\(\eqalign{
& \sqrt x = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

\(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx + {1 \over 2}.2.2 = \left. {{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right|_0^4}  + 2 = {{22} \over 3}\)