Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 18

Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \({\rm{w}}\) thì  \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \).

Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=x+yi\) và \(\rm{w}=a+bi\)

\(z\) là một căn bậc hai của số phức w thì \({z^2} = {\rm{w}}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr
2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {a^2} \hfill \cr
4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \)

  \(  \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}}  = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)

logiaihay.com

Copyright © 2021 HOCTAP247