Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 19

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

a) \({z^2} = z + 1\);

b) \({z^2} + 2z + 5 = 0\)

c) \({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({z^2} = z + 1 \Leftrightarrow {z^2} - z = 1 \Leftrightarrow {z^2} - z + {1 \over 4} = {5 \over 4}\)

                              \( \Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow z - {1 \over 2} =  \pm {{\sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow z = {1 \over 2} \pm {{\sqrt 5 } \over 2}\)

b) \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} =  - 4 = {\left( {2i} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 1 = 2i \hfill \cr  z + 1 =  - 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z =  - 1 + 2i \hfill \cr  z =  - 1 - 2i \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1 + 2i; - 1 - 2i} \right\}\)

c) \({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\) có biệt thức

                   \(\Delta  = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right) = 1 - 9 - 6i + 8 + 8i = 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}\)

Do đó phương trình có hai nghiệm là: \({z_1} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i + \left( {1 + i} \right)} \right] = 2i\)

\({z_2} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i - \left( {1 + i} \right)} \right] =  - 1 + i\)

Vậy \(S = \left\{ {2i; - 1 + i} \right\}\)

Copyright © 2021 HOCTAP247