Bài 21 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 21

a) Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0\)

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Hướng dẫn giải

a) Nhận xét:\( - 2i = {\left( {1 - i} \right)^2} \Rightarrow  - i = {\left( {{{1 - i} \over {\sqrt 2 }}} \right)^2}\)

Suy ra \(–i\) có căn bậc hai \( \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\)

Ta có \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} + i = 0 \hfill \cr  {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

* \({z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - i \Leftrightarrow z =  \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\)

* \({z^2} - 2iz - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i\)

Vậy \(S = \left\{ {i;{{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right); - {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)} \right\}\)

b) Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình

Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \({z_1}^2 + {z_2}^2 = 8\)

Theo định lí Vi-et ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr
{z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr
& \Leftrightarrow {\left( { - B} \right)^2} - 2.3i = 8 \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \cr} \)