Cho đường thẳng d. Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó. Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d (hay là phép đối xứng trục) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d.

Nhận xét:

Đd(M)=M' ⇒ Đd(M')=M.
\(M \in d\) ⇒ Đd(M)=M.

1.2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng d trùng với trục Ox

Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đ_d(M)=(x’;y’) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\\
y' = - y
\end{array} \right.\)

b) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng d trùng với trục Oy

Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đ_d(M)=(x’;y’) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = - x\\
y' = y
\end{array} \right.\)

1.3. Tính chất

a) Tính chất 1

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Tính chất 2:

Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

1.4. Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa:

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó, tức là Đ_d(H)=H.

Ví dụ 1:

Cho điểm M(1;3). Tìm tọa đô M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy, rồi tìm tọa độ của M’’ là ảnh của M’ qua phép đối xứng trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Đ_Oy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x = - 1\\y' = y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1;3).\)

Đ_Ox(M’)=M’’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = x' = - 1\\y'' = - y' = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1; - 3).\)

Ví dụ 2:

Cho đường tròn (C): \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh ủa đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C), I’ và R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’).

Khi đó ta có: \(R' = R = 2\) và I’=Đ_Ox(I).

I’=Đ_Ox(I)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} = 1\\{y_{I'}} = - {y_I} = - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 4.\)

Ví dụ 3:

Cho \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3}.\) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

Hướng dẫn giải:

Gọi \(M(x,y) \in d,\) khi đó Đ_Oy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right. \Rightarrow M( - x';y').\)

\(M \in d \Rightarrow \frac{{ - x' - 1}}{2} = \frac{{y' + 2}}{3} \Leftrightarrow 3x' + 2y' + 7 = 0\)

Vậy phương trình của d’ là: \(3x + 2y + 7 = 0.\)

3. Luyện tập Bài 3 chương 1 hình học 11

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng trục. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này

3.1 Trắc nghiệm về phép đối xứng trục

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Trong các hình sau đây, hình nào có 4 trục đối xứng?
- A. Hình bình hành
- B. Hình chữ nhật
- C. Hình thoi
- D. Hình vuông
Câu 2:
Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành d’?
- A. Không có phéo đối xứng trục nào.
- B. Có duy nhất một phép đối xứng trục.
- C. Chỉ có hai phép đối xứng trục.
- D. Có vô số phéo đối xứng trục.
Câu 3:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x-2y+1=0. Ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:
- A. \(3x + 2y + 1 = 0.\)
- B. \[ - 3x + 2y - 1 = 0.\]
- C. \(3x + 2y - 1 = 0.\)
- D. \(3x - 2y + 1 = 0.\)
Câu 4:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương tình 3x-y+2=0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
- A. \(3x - y + 2 = 0.\)
- B. \(3x + y + 2 = 0.\)
- C. \(3x - y - 2 = 0.\)
- D. \(3x + y - 2 = 0.\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phép đối xứng trục

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2 trang 11 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 11 SGK Hình học 11

Bài tập 1.6 trang 16 SBT Hình học 11

Bài tập 1.7 trang 16 SBT Hình học 11

Bài tập 1.8 trang 16 SBT Hình học 11

Bài tập 1.9 trang 16 SBT Hình học 11

Bài tập 1.10 trang 16 SBT Hình học 11

Bài tập 7 trang 13 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 8 trang 13 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 9 trang 13 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 10 trang 13 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 11 trang 14 SGK Hình học 11 NC