a. Vì M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB

Nên MN là đường trung bình thuộc cạnh BC của tam giác ABC.

Khi đó: MN//BC

Vậy BMNC là hình thang.

b. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G là giao điểm của 2 trung tuyến BM và CN.

Khi đó: ${{GM} \over {BG}} = {{GN} \over {CG}} = {1 \over 3}$

Mà E, F lần lượt là trung điểm của BG và CG

Nên BE = EG = GM và CF = FG = GN.

⇒ G là trung điểm của EM và FN.

Xét tứ giác MNEF có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra: MNEF là hình bình hành.

c. Vì H là trung điểm của BC (AG là trung tuyến), M là trung điểm của AC

Suy ra: HM là đường trung bình thuộc cạnh AB của tam giác ABC

⇒ HM//AB hay HK//AB (1)

Theo giả thiết: AK//BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ABHK là hình bình hành.

d. Nếu tam giác ABC cân tại A thì AH là đường cao của tam giác ABC

hay AH ⊥ BC.

⇒ AH ⊥ MN hay AG ⊥ MN (3)

Xét tam giác AGC có M là trung điểm của AC, F là trung điểm của CG

⇒ MF là đường trung bình thuộc cạnh AG của tam giác AGC

⇒ MF//AG (4)

Từ (3) và (4) ⇒ MF ⊥ MN 

Theo câu b: MNEF là hình bình hành nên MNEF là hình chữ nhật.