Đáp án:

Bạn tham khảo nhé!

Giải thích các bước giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lí Pytago)

\(\begin{array}{l}{6^2} + {8^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow B{C^2} = 100 \Rightarrow BC = 10\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC

\( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,\left( {cm} \right)\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MD \bot AB\\AC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow MD\parallel AC\) (Từ vuông góc đến song song)

Lại có M là trung điểm của BC

\( \Rightarrow D\) là trung điểm của AB (Định lí đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow MD\) là đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow MD\parallel AC\) (Tính chất đường trung bình)

\( \Rightarrow ADMC\) là hình thang, lại có \(\widehat {ADM} = \widehat {DAC} = {90^0}\)

Vậy ADMC là hình thang vuông.

c) Xét tứ giác AMBE có:

D là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của EM (gt)

\( \Rightarrow AMBE\) là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà \(MD \bot AB \Rightarrow ME \bot AB\)

\( \Rightarrow AMBE\) là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc).

d) Do AMBE là hình thoi \( \Rightarrow AE\parallel BM \Rightarrow AE\parallel MC\) và \(AE = BM\)

Mà \(BM = MC \Rightarrow AE = MC\)

\( \Rightarrow AEMC\) là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

e) Gọi G là giao điểm của AC và MF.

Do F đối xứng M qua AC

\( \Rightarrow AC\) là trung trực của MF.

\( \Rightarrow AC \bot MF\) và \(MG = GF\).

Lại có \(AC \bot AB \Rightarrow MF\parallel AB \Rightarrow MG\parallel AB\).

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của BC

\(MG\parallel AB\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow G\) là trung điểm của AC (Định lí đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác AMCF có:

G là trung điểm của AC

G là trung điểm của MF

\( \Rightarrow AMCF\) là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Lại có \(AC \bot MF\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AMCF\) là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc).

\( \Rightarrow AF\parallel MC \Rightarrow AF\parallel BC\) và \(AF = MC\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AE\parallel BC\\AF\parallel BC\end{array} \right. \Rightarrow A,E,F\) thẳng hàng (1) (Tiên đề Ơ-clit).

\(\left\{ \begin{array}{l}AE = BM\\AF = MC\\BM = MC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE = AF\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow A\) là trung điểm của EF.

Vậy F đối xứng E qua A.