Giải thích các bước giải:

1.Vì $M$ nằm chính giữa cung $AB\to MA=MB$

$\to \widehat{ICK}=\widehat{MCB}=\widehat{ANM}=\widehat{INK}$

$\to CIKN$ nội tiếp

$\to C,N,K,I$ cùng thuộc một đường tròn

2.Vì $N$ nằm chính giữa cung $BC$

$\to \widehat{NBK}=\widehat{NBC}=\widehat{BMN}$

Mà $\widehat{BNK}=\widehat{BNM}$

$\to\Delta NBK\sim\Delta NMB(g.g)$
$\to\dfrac{NB}{NM}=\dfrac{NK}{NB}$

$\to NB^2=NK.NM$

3.Ta có $CNKI$ nội tiếp $\to\widehat{NIK}=\widehat{NCK}=\widehat{BCN}=\widehat{BAN}$

$\to KI//AB$

Ta có $NB=NC\to\widehat{BAN}=\widehat{NMC}$

$\to \widehat{HAI}=\widehat{HMI}\to AMHI$ nội tiếp

$\to\widehat{MIH}=\widehat{MAH}=\widehat{MAB}=\widehat{MCB}$

$\to HI//BC$

$\to HIKB$ là hình bình hành

Lại có $CNKI$ nội tiếp

$\to\widehat{HKI}=\widehat{ICN}$

Ta có $NB=NC\to NC^2=NK.NM$

$\to\dfrac{NC}{NK}=\dfrac{NM}{NC}$

Mà $\widehat{KNC}=\widehat{MNC}$

$\to\Delta NKC\sim\Delta NCM(c.g.c)$

$\to\widehat{NKC}=\widehat{ICN}$

$\to \widehat{BKH}=\widehat{NKC}=\widehat{HKI}$

$\to HK$ là phân giác $\widehat{BKI}$

$\to BHIK$ là hình thoi

4.Ta có: $ND$ là đường kính của $(O)\to D$ nằm giữa cung $BC$ lớn vì $N$ nằm giữa cung $BC$ nhỏ

$\to DB=DC\to \Delta DBC$ cân tại $D$

$\to \widehat{DCB}=90^o-\dfrac12\widehat{BDC}=90^o-\dfrac12\widehat{BMC}=90^o-\widehat{KMC}=90^o-\dfrac12\widehat{KQC}=\widehat{QCK}$

$\to C,Q,D$ thẳng hàng

Tương tự chứng minh được $D,P,B$ thẳng hàng

Ta có $\Delta DBC, QKC$ cân tại $D,Q\to \widehat{QKC}=\widehat{QCK}=\widehat{DCB}=\widehat{DBC}$

$\to QK//DB\to QK//DP$

Tương tự $\to QD//PK\to DQKP$ là hình bình hành

$\to PQ\cap DK$ tại trung điểm mỗi đường

$\to  E$ là trung điểm $DK\to D,E,K$ thẳng hàng