Đáp án+ Giải thích các bước giải:

`a,`

Xét ΔABC có: 

AM = MB ( M trung điểm AB)

AN = NC ( N trung điểm AC)

⇒ $MN$ là đường trung bình ΔABC

`-> MN = 1/2 BC ; MN`// $BC$
MN // BC ⇒ $MNBC$ là hình thang 

Mà: `\hat{B} = \hat{C} ( \text{ ΔABC cân tại A})`

⇒ $MNBC$ là hình thang cân 

`b,`

Ta có: `MN = 1/2 BC`( $MN$ là đường trung bình ΔABC)

`-> MN = BI = IC`
Xét tứ giác $MNBI$ có:

`MN= BI ( cmt)`

`MN`//`BI`($MN$ // $BC$; $I ∈ BC$)

⇒ $MNBI$ là hình bình hành ( dấu hiệu $3$)

(* dấu hiệu $3$: tứ giác có $2$ cạnh sinh sống và bằng nhau là hình bình hành)

`c,`

Xét Δ cân ABC có: $AI$ là đường trung tuyến ( $BI = IC$)

⇒ $AI$ là đường cao ⇒ $AI ⊥ BC$ 

                             Mà: $BC$ // $MN$
⇒ $MN ⊥AI$ ( từ vuông góc đến song song)

Xét ΔABC có: 

$CN = NC$ ( $N$ trung điểm $AC$)

$CI = IB$ ($I$ trung điểm $BC$ )

⇒ $NI$ là đường trung bình Δ$ABC$ 

⇒ $NI$ // $AB$ 
`NI = 1/2 AB = AM = BM`
Xét tứ giác $AMNI$ có:

`NI = AM (cmt)`

`NI`// $AM$ ( cmt)

⇒ $AMNI$ là hình bình hành ( dấu hiệu $3$)

Mà: $AI ⊥ BC$ ( cmt)

⇒ $AMNI$ là hình thoi

`d,`

Xét tứ giác $AICK$ có: 

$IN = NK$ ( $K$ đối xứng $I$ qua $N$)

$AN = NC $ ( $N$ trung điểm $AC$ )

⇒ $AICK$ là hình bình hành ( dấu hiệu $5$)

(* dấu hiệu $5$ : tứ giác có $2$ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)

Mà: `\hat{AIC} = 90^o`( $AI ⊥ BC$ )

⇒ $AICK $ là hình chữ nhật

`\text{Ta có: ΔABC cân tại A có AI là đương trung tuyến}`

`=> \text{AI là đường cao của ΔABC}`

`=>\text{ AI ⊥ BC tại I}`

`=> \hat{AIC} = 90^0`

`\text{Xét tứ giác AICK có:}`

`\text{N là trung điểm của AC (gt)}`

`\text{N là trung điểm của IK ( K đối xứng với I qua N)}`

`\text{mà AC cắt IK tại I}`

`=> \text{Tg AICK là hình bình hành (dhnb)}`

          `\text{mà}  \hat{AIC}  = 90^0`

`=>\text{Tg AICK là hình chữ nhật (dhnb)}`

_______________________________

`\text{Tg có 2 đg chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hbh}`

`\text{Hbh có 1 góc vuông là hình chữ nhật.}`