a, Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có: 

$AM$ chung 

$\widehat{AMB}= \widehat{ AMC}= 90 ^o$ 

$AB= AC$ 

$\Rightarrow\Delta  AMB= \Delta AMC$ (ch.cgv) 

$\Rightarrow\widehat{ BAM}= \widehat{ CAM}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

Vậy $AM$ phân giác góc $\widehat{BAC}$ 

b, Xét $\Delta ADM$ và $\Delta AEM$ có: 

$\widehat{ MDA}= \widehat{ MEA}= 90^o$ 

$\widehat{ MAD}= \widehat{ MAE}$ (vì $AM$ phân giác) 

$AM$ chung 

$\Rightarrow\Delta ADM= \Delta AEM$ (1) (ch.gn) 

$\Rightarrow AD= AE \Rightarrow$ Tam giác ADE cân A 

$\Rightarrow\widehat{  ADE}= \dfrac{180^o - \widehat A}{2}$ 

Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh A $\widehat{ ABC}= \dfrac{180^o- góc A}{2}$

$\Rightarrow\widehat{ ADE}= \widehat{ ABC}$ 

$\Rightarrow DE//BC$ (đồng vị) 

c, (1) $\Rightarrow MD= ME; \widehat{ DMA}= \widehat{ EMA}$

$\Rightarrow \Delta DME$ cân tại M (*)

Có $\widehat{DAE}= 120^o  \Rightarrow\widehat{ DAM}= 60 ^o$ 

$\Delta DMA \bot D có \widehat{ DMA}= 180^o-90^o-60^o= 30^o$ 

$\Rightarrow\widehat{ DME}= 2.\widehat{DMA}= 60 ^o$ (**) 

Từ (*) và (**) suy ra tam giác DME đều 

d, Có $\widehat{ BAC}= 120^o\Rightarrow\widehat{ FAC}= 180^o-120^o= 60^o$ 

Tam giác ABC cân A có $\widehat{ ACB}= \dfrac{180-120}{2}= 30^o$ 

Mà $\widehat {FCB}= 90^o\Rightarrow\widehat{ ACF}= 90-30= 60 ^o$ 

Tam giác AFC có $\widehat{ FAC}= \widehat{ ACF}= 60 ^o$ nên là tam giác đều

$\Rightarrow AF=CF=6cm$.