Tam giác ABC có góc A =90 độ, AB=12cm, AC=16cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. a) Tính BC,BD,CD

a)     Vì $\Delta ABC$  vuông tại A nên $B{C}^2=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\left(pytago\right)=\sqrt{{12}^2+{16}^2}=20\left(cm\right)$

Vì là phân giác của

$\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$(tính chất đường phân giác của

$\Rightarrow \frac{AB+AC}{AC}=\frac{BD+DC}{DC}$(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{AB+AC}{AC}=\frac{BC}{DC}hay\frac{12+16}{12}=\frac{20}{DC}\Rightarrow DC=\frac{80}{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow BD=BC-DC=20-\frac{80}{7}=\frac{60}{7}\left(cm\right)\end{array}$

b)    $S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=\mathrm{9,6}\left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pytago vào vuông tại H

$\Rightarrow BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{{12}^2-{\mathrm{9,6}}^2}=\mathrm{7,2}\left(cm\right)$

$HD=\left|BD-BH\right|=\left|\frac{60}{7}-\mathrm{7,2}\right|=\frac{48}{35}\left(cm\right)$

$\Delta AHD$vuông tại H nên

$AD=\sqrt{A{H}^2+H{D}^2}\left(Pytago\right)=\sqrt{{\mathrm{9,6}}^2+{\left(\frac{48}{35}\right)}^2}=\frac{48\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)$

Vậy $AH=\mathrm{9,6}cm;HD=\frac{48}{35}cm;AD=\frac{48\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)$