Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM (M thuộc BC) . Gọi I, K thứ tự là trung điểm của AB và AC.

Câu hỏi :

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM $(\mathrm{M}\in \mathrm{BC})$  . Gọi I, K thứ tự là trung điểm của AB và AC.

a) Chứng minh tứ giác IMCK là hình bình hành

b) Gọi H là điểm đối xứng với M qua điểm K. Hỏi tứ giác AMCH là hình gì? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCH là hình vuông ?

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) Xét $\mathrm{\Delta ABC}$ có I là trung điểm AB, K là trung điểm $\mathrm{AC} \Rightarrow \mathrm{IK}$  là đường trung bình $\mathrm{\Delta ABC}\Rightarrow \mathrm{IK}//\mathrm{BC},\mathrm{IK}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$ mà $\mathrm{M}\in \mathrm{BC},\mathrm{MC}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{IK}=\mathrm{MC}\\ \mathrm{IK}//\mathrm{MC}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{IKCM}$ là hình bình hành

b) Tứ giác AHCM có 2 đường chéo AC, MH cắt nhau tại trung điểm K mỗi đường

$\Rightarrow \mathrm{AHCM}$ là hình bình hành (1)

$\mathrm{\Delta ABC}$ cân tại A nên AM đường trung tuyến cũng là đường cao $\Rightarrow \mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra AHCM là hình chữ nhật

c) AHCM là hình vuông $\iff \mathrm{AM}=\mathrm{MC}\Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}\Rightarrow \mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A

(định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Vậy $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông cân thì AMCH là hình vuông.